Hiperbola

Hiperbola

Tudtad, hogy egy űrhajó pályája néha hiperbola lehet?

Az űrhajó egy bolygó gravitációját felhasználva megváltoztathatja pályáját, és nagy sebességgel elhajíthatja a bolygótól, majd vissza az űrbe egy “gravitációs csúzli” nevű technikával.

Ha ez történik, akkor az űrhajó pályája hiperbola.

(Játsszunk ezzel a Gravity Freeplay-ben)

Definíció

A hiperbola két görbe, amelyek olyanok, mint a végtelen íjak.

Ha csak az egyik görbét nézzük:

minden P pont valamilyen konstans összeggel közelebb van F-hez, mint G-hez

A másik görbe tükörképe, és közelebb van G-hez, mint F-hez.

Más szóval a P és F közötti távolság mindig kisebb, mint a P és G közötti távolság valamilyen konstans összeggel. (És a másik görbe esetében P-től G-ig mindig kisebb, mint P-től F-ig ugyanezzel az állandó összeggel.)

Minden ívet ágnak, F-et és G-t pedig fókusznak nevezzük.

Próbáld ki te magad:

Próbáld meg áthelyezni a P pontot: mit veszel észre a PF és PG hosszúságokon?

Még próbáld meg a P pontot a másik ágra helyezni.

Más érdekes dolgok is vannak:

A diagramon láthatod:

• egy szimmetriatengelyt (amely minden fókuszon áthalad)
• két csúcsot (ahol minden görbe a legélesebb kanyart veszi)
• a csúcsok közötti távolság (az ábrán 2a) az állandó. PF és PG hosszának különbsége
• két aszimptota, amelyek nem részei a hiperbolának, de megmutatják, hogy a görbe merre menne, ha a végtelenségig folytatódna mind a négy irányban

És, szigorúan véve van egy másik szimmetriatengely is, amely középen halad, és elválasztja a hiperbola két ágát.

Konikus metszet Hypergömböt kaphatunk akkor is, ha egy kettős kúpot szeletelünk át. A szeletnek meredekebbnek kell lennie, mint a parabolának, de nem kell párhuzamosnak lennie a kúp tengelyével ahhoz, hogy a hiperbola szimmetrikus legyen. A hiperbola tehát egy kúpszelvény (a kúp egy szakasza).

Egyenlet

A hiperbola x-y grafikonra (az x-tengely és az y-tengely középpontjára) helyezve a görbe egyenlete a következő:

x2a2 – y2b2 = 1

Ezeken kívül:

Az egyik csúcspont (a, 0), a másik pedig (-a, 0)

Aszimptoták az egyenesek:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Megjegyzés: az egyenlet hasonló az ellipszis egyenletéhez:

Excentricitás

A hiperbola bármelyik ága definiálható olyan görbeként is, ahol bármelyik pont távolsága:

• egy fix ponttól (fókusz) és
• egy fix egyenestől (direktrix)mindig azonos arányban van.

Ezt az arányt excentricitásnak nevezzük, és egy hiperbola esetében mindig nagyobb, mint 1.

Az excentricitás (általában e betűvel jelölik) mutatja, hogy a hiperbola mennyire “görbületlen” (a kör jellegétől eltérő).

Az ábrán:

• P a görbe egy pontja,
• F a fókusz és
• N a direktrix pontja úgy, hogy PN merőleges a direktrixra.

Az excentricitás a PF/PN hányados, és a következő képlettel rendelkezik:

e = √(a2+b2)a

A fenti ábrán szereplő “a” és “b” értékek felhasználásával.

Latus Rectum

A Latus Rectum a fókuszon áthaladó és a direktrixszel párhuzamos egyenes. A Latus Rectum hossza 2b2/a.

1/x

Az y = 1/x reciprok függvény egy hiperbola!