Hyperbel

Hyperbel

Vet du att en rymdfarkosts bana ibland kan vara en hyperbel?

En rymdfarkost kan använda en planets gravitation för att ändra sin bana och driva den med hög hastighet bort från planeten och tillbaka ut i rymden med hjälp av en teknik som kallas ”gravitationell slingshot”.

Om detta sker är rymdfarkostens bana en hyperbel.

(Spela med detta på Gravity Freeplay)

Definition

En hyperbel är två kurvor som är som oändliga bågar.

Om man bara tittar på en av kurvorna:

Varje punkt P är närmare F än G med något konstant belopp

Den andra kurvan är en spegelbild och är närmare G än F.

Med andra ord är avståndet från P till F alltid mindre än avståndet P till G med något konstant belopp. (Och för den andra kurvan är P till G alltid mindre än P till F med detta konstanta belopp.)

Varje båge kallas för en gren, och F och G kallas för vardera ett fokus.

Försök själv:

Försök att flytta punkten P: vad märker du om längderna PF och PG?

Försök också att placera punkten P på den andra grenen.

Det finns några andra intressanta saker också:

På diagrammet kan du se:

• en symmetriaxel (som går genom varje fokus)
• två hörn (där varje kurva gör sin skarpaste sväng)
• avståndet mellan hörnen (2a på diagrammet) är konstanten. skillnaden mellan längderna PF och PG
• två asymptoter som inte är en del av hyperbeln utan visar vart kurvan skulle ta vägen om den fortsatte i all oändlighet i var och en av de fyra riktningarna

Och, strikt sett finns det också en annan symmetriaxel som går i mitten och som skiljer de två grenarna av hyperbeln åt.

Koniskt snitt Man kan också få en hyperbel när man skär genom en dubbelkägla. Snittet måste vara brantare än för en parabel, men behöver inte vara parallellt med konens axel för att hyperbeln ska vara symmetrisk. Hyperbeln är alltså en konisk sektion (en sektion av en kon).

Ekvation

Om man placerar en hyperbel på en x-y-graf (centrerad över x-axeln och y-axeln) är kurvans ekvation:

x2a2 – y2b2 = 1

Och:

Ett hörn ligger vid (a, 0) och det andra vid (-a, 0)

Asymtotes är de raka linjerna:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Observera: ekvationen liknar ellipsens ekvation:

Excentricitet

En gren av en hyperbel kan också definieras som en kurva där avstånden för varje punkt från:

en fast punkt (fokus) och en fast rät linje (riktlinjen) alltid står i samma förhållande.

Detta förhållande kallas excentricitet, och för en hyperbel är det alltid större än 1.

Excentriciteten (som vanligen visas med bokstaven e) visar hur ”okrökt” (avvikande från att vara en cirkel) hyperbeln är.

I det här diagrammet:

• P är en punkt på kurvan,
• F är fokus och
• N är en punkt på direktrixen så att PN är vinkelrätt mot direktrixen.

Excentriciteten är förhållandet PF/PN och har formeln:

e = √(a2+b2)a

Med hjälp av ”a” och ”b” från diagrammet ovan.

Latus Rectum

Latus Rectum är linjen genom fokus och parallell med direktrixen. Latus rektums längd är 2b2/a.

1/x

Den reciproka funktionen y = 1/x är en hyperbel!